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13/09/2024

A área de um triângulo qualquer conhecendo dois lados e um ângulo - LLA

A área de um triângulo qualquer conhecendo dois lados e um ângulo - LLA
A área de um triângulo qualquer conhecendo dois lados e um ângulo - LLA
Uma forma simples de obter a área de um triângulo qualquer conhecendo dois lados e um ângulo é através da fórmula LLA. A dedução desta fórmula é bem simples e requer os seguintes requisitos: Conhecer a identidade trigonométrica a soma de arcos - seno da diferença, fórmula elementar da área de um triângulo \(\text{Área}=\frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}\).
\(\require{gensymb}\) Traçando uma altura relativa à base do triângulo, \(c\), como na imagem abaixo.
A área de um triângulo qualquer conhecendo dois lados e um ângulo - LLA
O triângulo \(\triangle APC \) é retângulo, logo, \begin{equation} \sin\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{h}{b} \label{eq:1} \end{equation} Então \begin{equation} h = b \cdot \sin\alpha \label{eq:2} \end{equation} A fórmula básica para calcular a área de qualquer triângulo conhecendo a sua base e sua altura é dada por. \begin{equation} \text{Área}(\triangle)=\frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} \label{eq:3} \end{equation} Como conhecemos a base \(c\) e a altura \(h\) em \((\ref{eq:2})\) do triângulo \(\triangle ABC\), basta substituí-los em \((\ref{eq:3})\). \begin{equation} \text{Área}(\triangle)=\frac{c \cdot b \cdot \sin\alpha}{2} \label{eq:4} \end{equation}
\(\blacksquare\)
No exemplo acima o ângulo \(\alpha\) é agudo, ou seja \(\alpha \lt 90 \degree\). Será se a fórmula também funciona para ângulos abtusos (maior que \(90\degree \))? Vamos verificar.
A área de um triângulo qualquer conhecendo dois lados e um ângulo - LLA
A altura \(h\) do triângulo \(\triangle ABC\), quando \(\alpha \gt 90 \degree \), se relaciona com o ângulo \(180\degree -\alpha \). logo. \begin{equation} \sin(180 - \alpha) = \frac{h}{b} \label{eq:5} \end{equation} \begin{equation} h = b \cdot \sin(180 - \alpha) \label{eq:6} \end{equation} Como conhecemos a identidade trigonométrica a soma de arcos - seno da diferença. \begin{equation} \sin(180-\alpha) = \sin 180 \cdot \cos \alpha - \sin \alpha \cdot cos 180 \label{eq:7} \end{equation} A saber. \begin{equation} \sin180 = 0 \label{eq:8} \end{equation} \begin{equation} cos180 = -1 \label{eq:9} \end{equation} Então, substituindo \((\ref{eq:8})\) e \((\ref{eq:9})\) em \((\ref{eq:7})\), temos. \begin{equation} \sin(180-\alpha) = \cancel{\sin 180 \cdot \cos \alpha} - \sin \alpha \cdot (-1) \label{eq:10} \end{equation} \begin{equation} \sin(180 - \alpha) = \sin \alpha \label{eq:11} \end{equation} Substituindo \((\ref{eq:11})\) em \((\ref{eq:6})\). \begin{equation} h = b \cdot \sin(180 - \alpha) = b \cdot \sin \alpha \label{eq:12} \end{equation} \begin{equation} h = b \cdot \sin \alpha \label{eq:13} \end{equation} Como a área de um triângulo qualquer é igual a \(\frac{\text{base*altura}}{2}\), logo. \begin{equation} \text{Área}(\triangle)=\frac{c \cdot b \cdot \sin\alpha}{2} \label{eq:14} \end{equation} Portanto, a fórmula LLA funciona para qualquer valor de alpha, \(0 \lt \alpha \lt 180 \degree \). Outro ponto importante, as fórmulas LLA e AALL são equivalantes.
A área de um triângulo qualquer conhecendo dois lados e um ângulo - LLA
Atividade para casa :) - Demonstre que a área de um triângulo qualquer é igual a. \begin{equation} \text{Área}(\triangle)=\frac{b \cdot c}{2} \cdot\sin(\theta + \beta) \label{eq:15} \end{equation} Lembre-se: A soma dos ângulos internos de um triângulo (na geometria euclidiana plana) é sempre igual a \(180\degree\).
Notas e referências

Como fazer referência ao post

Rodrigo da Costa. A área de um triângulo qualquer conhecendo dois lados e um ângulo - LLA. rcmath, 13/09/2024. Disponível em: < https://www.rcmath.com/2024/09/a-area-de-um-triangulo-qualquer-conhecendo-dois-lados-e-um-angulo.html >. Acesso em: .


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