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16/11/2023

Demonstração da Lei dos Cossenos

Demonstração: Lei dos Cossenos
Demonstração: Lei dos Cossenos
Requisitos: Teorema de Pitágoras; Identidade trigonométrica - cosseno da diferença de dois arcos;

 \(\require{gensymb}\) A lei dos cossenos relaciona um ângulo conhecido e os dois lados adjacente ao mesmo, para encontrar o comprimento do lado oposto ao ângulo. Na Figura (1), para encontrar o comprimento do lado \(a\), basta conhecer o ângulo \(\theta\) e os lados \(b\) e \(c\).
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Figura 1
Traçando uma altura relativa a base \(c\) e aplicando Pitágoras ao triângulo \(\triangle APC\).
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Figura 2
\begin{equation} b^2 = h^2+(c-x)^2 \label{eq:3.10} \end{equation} \begin{equation} h^2=b^2-(c-x)^2 \label{eq:3.11} \end{equation} \begin{equation} h^2=b^2-c^2+2cx-x^2 \label{eq:3.12} \end{equation} O cosseno do ângulo \(\theta\) \(\measuredangle PAC\) do triângulo \(\triangle APC\) é igual a. \begin{equation} cos(\theta) = \frac{c-x}{b} \label{eq:3.13} \end{equation} \begin{equation} x = c - b\cdot cos(\theta) \label{eq:3.14} \end{equation} Aplicando Pitágoras ao triângulo \(\triangle BPC\). \begin{equation} a^2=h^2+x^2 \label{eq:3.15} \end{equation} Substituindo (\ref{eq:3.12}) em (\ref{eq:3.15}). \begin{equation} a^2=b^2-c^2+2cx \cancel{-x^2} \cancel{+x^2} \label{eq:3.16} \end{equation} \begin{equation} a^2=b^2-c^2+2cx \label{eq:3.17} \end{equation} Substituindo (\ref{eq:3.14}) em (\ref{eq:3.17}). \begin{equation} a^2=b^2-c^2+2c(c - b\cdot cos(\theta)) \label{eq:3.18} \end{equation} \begin{equation} a^2=b^2-c^2+2c^2 - 2bc\cdot cos(\theta)) \label{eq:3.19} \end{equation} Portanto. \begin{equation} a^2=b^2+c^2 - 2bc\cdot cos(\theta) \label{eq:3.20} \end{equation} Vamos verificar se a fórmula acima é válida quando \(\theta > 90\degree\), ou seja, quando o segmento \(b\) cria uma projeção para a esquerda do vértice \(A\).
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Figura 3
Aplicando pitágoras no triângulo \(\triangle BPC\). \begin{equation} a^2 = h^2 + (x+c)^2 \label{eq:3.21} \end{equation} Aplicando pitágoras no triângulo \(\triangle APC\). \begin{equation} b^2 = h^2 + x^2 \label{eq:3.22} \end{equation} \begin{equation} h^2 = b^2 - x^2 \label{eq:3.23} \end{equation} Substituindo (\(\ref{eq:3.23}\)) em (\(\ref{eq:3.21}\)). \begin{equation} a^2 = b^2 - x^2 + (x+c)^2 \label{eq:3.24} \end{equation} \begin{equation} a^2 = b^2 \cancel{-x^2} + \cancel{x^2}+2cx+c^2 \label{eq:3.25} \end{equation} \begin{equation} a^2 = b^2+c^2+2cx \label{eq:3.26} \end{equation} No \(\triangle APC\) o \(\cos(180\degree - \theta)\) é igual a. \begin{equation} \cos(180\degree - \theta) = \frac{x}{b} \label{eq:3.27} \end{equation} \begin{equation} x = b\cdot\cos(180\degree - \theta) \label{eq:3.28} \end{equation} Aplicando a identidade trigonométrica - o cosseno da diferença de dois arcos. \begin{equation} \cos(180\degree - \theta) = \cos(180\degree)\cdot\cos(\theta) + \sin(180\degree)\cdot\sin(\theta) \label{eq:3.29} \end{equation} Como o \(\cos(180) = -1\) e \(\sin(180) = 0\), substituindo-os em (\(\ref{eq:3.23}\)). \begin{equation} \cos(180\degree - \theta) = -1\cdot\cos(\theta) + \cancel{0\cdot\sin(\theta)} \label{eq:3.30} \end{equation} \begin{equation} \cos(180\degree - \theta) = -\cos(\theta) \label{eq:3.31} \end{equation} Substituindo \(\ref{eq:3.31}\) em \(\ref{eq:3.28}\). \begin{equation} x = b\cdot(-\cos(\theta)) \label{eq:3.32} \end{equation} \begin{equation} x = -b\cdot\cos(\theta) \label{eq:3.33} \end{equation} Substituindo \(\ref{eq:3.33}\) em \(\ref{eq:3.26}\). \begin{equation} a^2 = b^2+c^2+2c(-b\cdot\cos(\theta)) \label{eq:3.34} \end{equation} Portanto, a lei dos cossenos é válida para qualquer valor de theta, \( 0 < \theta < 180\degree \). \begin{equation} a^2 = b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\theta) \label{eq:3.35} \end{equation} Além disso, podemos isolar \(\cos(\theta)\), deixando-o em função dos lados do triângulo. \begin{equation} cos(\theta) = \frac{b^2+c^2 -a^2}{2bc} \label{eq:3.36} \end{equation} Se \(a^2 \leq b^2+c^2\), então, \(0 < \theta \leq 90\degree\), senão, \(90\degree < \theta < 180\degree\).
Portanto.
Demonstração: Lei dos Cossenos

Notas e referências

Como fazer referência ao post

Rodrigo da Costa. Demonstração da Lei dos Cossenos. rcmath, 16/11/2023. Disponível em: < https://www.rcmath.com/2023/11/lei-dos-cossenos.html >. Acesso em: .


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