Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos

Uma das formas de demonstrar a fórmula de Heron é a partir das Leis dos Cossenos.
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo $\mathrm{△}ABC$, tendo como referência o ângulo $\theta$ $\measuredangle ABC$ .

Figura 1

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos(\theta )\end{array}$$ Traçando uma altura relativa a base $c$, $Figura(2)$, e aplicando Pitágoras ao triângulo $\mathrm{△}APC$.

Figura 2

$$\begin{array}{}\text{(2)}& b^2=h^2+m^2\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(3)}& m^2=b^2-h^2\end{array}$$ O cosseno do ângulo $\theta$ $\measuredangle APC$ do triângulo $\mathrm{△}APC$ é igual a. $$\begin{array}{}\text{(4)}& cos(\theta )=\frac{m}{b}\end{array}$$ Substituindo ($\text{4}$) em ($\text{1}$) temos, $$\begin{array}{}\text{(5)}& a^2=b^2+c^2-\frac{2\cancel{b}cm}{\cancel{b}}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(6)}& a^2=b^2+c^2-2cm\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(7)}& 2cm=b^2+c^2-a^2\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(8)}& m=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\end{array}$$ Elevando os dois lados da igualdade ($\text{8}$) ao quadrado. $$\begin{array}{}\text{(9)}& m^2=\frac{(b^2+c^2-a^2{)}^2}{4c^2}\end{array}$$ Substituindo ($\text{3}$) em ($\text{9}$) temos, $$\begin{array}{}\text{(10)}& b^2-h^2=\frac{(b^2+c^2-a^2{)}^2}{4c^2}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(11)}& h^2=b^2-\frac{(b^2+c^2-a^2{)}^2}{4c^2}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(12)}& h^2=\frac{4b^2{c}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2}{4c^2}\end{array}$$ Portanto, a altura de qualquer triângulo em função dos segmentos é dada pela fórmula abaixo. $$\begin{array}{}\text{(13)}& h=\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2}}{2c}\end{array}$$ Como a área de um triângulo é dada pela fórmula abaixo, $$\begin{array}{}\text{(14)}& A=\frac{base\cdot altura}{2}\end{array}$$ Substituindo em ($\text{14}$) a base que é igual a $c$, e a altura que é dada pela fórmula ($\text{13}$), temos. $$\begin{array}{}\text{(15)}& A=\frac{\cancel{c}\sqrt{4b^2{c}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2}}{2.\cancel{c}.2}\end{array}$$ Portanto, a área de um triângulo qualquer em função dos seus segmentos é dada pela fórmula abaixo. $$\begin{array}{}\text{(16)}& A=\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2}}{4}\end{array}$$ Com algumas manipulações algébricas chegaremos à fórmula de Heron. Como a parte interna do radical (lê-se radicando) em ($\text{16}$) é uma diferença de quadrados. $$\begin{array}{}\text{(17)}& A=\frac{\sqrt{(2bc{)}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2}}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(18)}& A=\frac{\sqrt{(2bc-b^2-c^2+a^2)(2bc+b^2+c^2-a^2)}}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(19)}& A=\frac{\sqrt{(a^2-(b^2-2bc+c^2))((b^2+2bc+c^2)-a^2)}}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(20)}& A=\frac{\sqrt{(a^2-(b-c{)}^2)((b+c{)}^2-a^2)}}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(21)}& A=\frac{\sqrt{(a+c-b)(a+b-c)((b+c-a)(a+b+c))}}{4}\end{array}$$ Fazendo a reversão do denominador para o radicando. $$\begin{array}{}\text{(22)}& A=\sqrt{\frac{(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}{16}}\end{array}$$ Como $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ logo, $$\begin{array}{}\text{(23)}& A=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}.\frac{(a+b-c)}{2}.\frac{(a+c-b)}{2}.\frac{(b+c-a)}{2}}\end{array}$$ Aplicando uma substituição simples, $$\begin{array}{}\text{(24)}& S=\frac{a+b+c}{2}\end{array}$$ Somando $-c$ em ambos os lados de ($\text{24}$), $$\begin{array}{}\text{(25)}& S-c=\frac{a+b+c}{2}-c\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(26)}& S-c=\frac{a+b+c-2c}{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(27)}& S-c=\frac{a+b-c}{2}\end{array}$$ Analogamente, podemos repetir os passos acima somando $-a$ e $-b$ para obtermos as outras duas relações. $$\begin{array}{}\text{(28)}& S-b=\frac{a+c-b}{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{}\text{(29)}& S-a=\frac{b+c-a}{2}\end{array}$$ Substituindo ($\text{24}$), ($\text{27}$), ($\text{28}$) e ($\text{29}$) na fórmula ($\text{23}$). $$\begin{array}{}\text{(30)}& A=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\end{array}$$ Onde, $$\begin{array}{}\text{(31)}& S=\frac{a+b+c}{2}\end{array}$$

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Notas e referências

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Como fazer referência ao post

Rodrigo da Costa. Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos. rcmath, 13/11/2023. Disponível em: < https://www.rcmath.com/2023/11/demonstracao-da-formula-de-heron-a-partir-da-lei-dos-cossenos.html >. Acesso em: 4 de abr. de 2025.