Uma das formas de demonstrar a fórmula de Heron é a partir das
Leis dos Cossenos.
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo , tendo como referência o ângulo .
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Figura 1 |
Traçando uma altura relativa a base , , e aplicando Pitágoras ao triângulo .
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Figura 2 |
O cosseno do ângulo do triângulo é igual a.
Substituindo () em () temos,
Elevando os dois lados da igualdade () ao quadrado.
Substituindo () em () temos,
Portanto, a altura de qualquer triângulo em função dos segmentos é dada pela fórmula abaixo.
Como a área de um triângulo é dada pela fórmula abaixo,
Substituindo em () a base que é igual a , e a altura que é dada pela fórmula (), temos.
Portanto, a área de um triângulo qualquer em função dos seus segmentos é dada pela fórmula abaixo.
Com algumas manipulações algébricas chegaremos à fórmula de
Heron. Como a parte interna do radical (lê-se radicando) em () é uma diferença de quadrados.
Fazendo a reversão do denominador para o radicando.
Como logo,
Aplicando uma substituição simples,
Somando em ambos os lados de (),
Analogamente, podemos repetir os passos acima somando e para obtermos as outras duas relações.
Substituindo (), (), () e () na fórmula ().
Onde,
Notas e referências
Como fazer referência ao post
Rodrigo da Costa. Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos. rcmath, 13/11/2023. Disponível em: < https://www.rcmath.com/2023/11/demonstracao-da-formula-de-heron-a-partir-da-lei-dos-cossenos.html >. Acesso em: 4 de abr. de 2025.
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