Siga o nosso instagram

13/11/2023

Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos

Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos
Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos
Uma das formas de demonstrar a fórmula de Heron é a partir das Leis dos Cossenos.
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, tendo como referência o ângulo θ ABC .
Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos
Figura 1
(1)a2=b2+c22bccos(θ) Traçando uma altura relativa a base c, Figura(2), e aplicando Pitágoras ao triângulo APC.
Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos
Figura 2
(2)b2=h2+m2 (3)m2=b2h2 O cosseno do ângulo θ APC do triângulo APC é igual a. (4)cos(θ)=mb Substituindo (4) em (1) temos, (5)a2=b2+c22bcmb (6)a2=b2+c22cm (7)2cm=b2+c2a2 (8)m=b2+c2a22c Elevando os dois lados da igualdade (8) ao quadrado. (9)m2=(b2+c2a2)24c2 Substituindo (3) em (9) temos, (10)b2h2=(b2+c2a2)24c2 (11)h2=b2(b2+c2a2)24c2 (12)h2=4b2c2(b2+c2a2)24c2 Portanto, a altura de qualquer triângulo em função dos segmentos é dada pela fórmula abaixo. (13)h=4b2c2(b2+c2a2)22c Como a área de um triângulo é dada pela fórmula abaixo, (14)A=basealtura2 Substituindo em (14) a base que é igual a c, e a altura que é dada pela fórmula (13), temos. (15)A=c4b2c2(b2+c2a2)22.c.2 Portanto, a área de um triângulo qualquer em função dos seus segmentos é dada pela fórmula abaixo. (16)A=4b2c2(b2+c2a2)24 Com algumas manipulações algébricas chegaremos à fórmula de Heron. Como a parte interna do radical (lê-se radicando) em (16) é uma diferença de quadrados. (17)A=(2bc)2(b2+c2a2)24 (18)A=(2bcb2c2+a2)(2bc+b2+c2a2)4 (19)A=(a2(b22bc+c2))((b2+2bc+c2)a2)4 (20)A=(a2(bc)2)((b+c)2a2)4 (21)A=(a+cb)(a+bc)((b+ca)(a+b+c))4 Fazendo a reversão do denominador para o radicando. (22)A=(a+cb)(a+bc)(b+ca)(a+b+c)16 Como 16=2222 logo, (23)A=(a+b+c)2.(a+bc)2.(a+cb)2.(b+ca)2 Aplicando uma substituição simples, (24)S=a+b+c2 Somando c em ambos os lados de (24), (25)Sc=a+b+c2c (26)Sc=a+b+c2c2 (27)Sc=a+bc2 Analogamente, podemos repetir os passos acima somando a e b para obtermos as outras duas relações. (28)Sb=a+cb2 (29)Sa=b+ca2 Substituindo (24), (27), (28) e (29) na fórmula (23). (30)A=S(Sa)(Sb)(Sc) Onde, (31)S=a+b+c2
Notas e referências

Como fazer referência ao post

Rodrigo da Costa. Demonstração da Fórmula de Heron a partir da Lei dos Cossenos. rcmath, 13/11/2023. Disponível em: < https://www.rcmath.com/2023/11/demonstracao-da-formula-de-heron-a-partir-da-lei-dos-cossenos.html >. Acesso em: 4 de abr. de 2025.


0 comments:

Postar um comentário